Довести тотожность (sinα-sinβ)²+(cosα-cosβ)²=4sin² α-β÷2

Довести тотожность
(sinα-sinβ)²+(cosα-cosβ)²=4sin² α-β÷2

  • (sina-sinb)^2+(cosa-cosb)^2=4(sin((a-b)/2))^2
    Левую часть открываем по формулам сокращенного умножения
    (sina-sinb)^2+(cosa-cosb)^2= (sina)^2 - 2*sina*sinb + (sinb)^2 + (cosa)^2 - 2*cosa*cosb + (cosb)^2=Групируем первое и четвртое; третье и шестое = ((sina)^2 + (cosa)^2) + ((sinb)^2 + (cosb)^2) -2*( sina*sinb + cosa*cosb )= Используем основное тригонометрическое свойство = 1+1-2*cos(a-b)=2+ 2*cos(a-b)=2*( 1-cos(a-b))=2*2*(sin((a-b)/2))^2=4* (sin((a-b)/2))^2

    Формула, которыми пользовалась:
    1)Основное тригонометрическое свойство:
    (sinb)^2 + (cosb)^2=1
    2) Формулы сложения углов:
    sina*sinb + cosa*cosb= cos(a-b)
    3)Формула половинного угла:
    (1-cosa)/2=(sin(a/2))^2