Каковы признаки параллелограмма в необходимости доказательства

Какие признаки у параллелограмма Нужно доказательство

  • 1 признак параллелограмма
    Если в четырехугольнике две стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник будет являться параллелограммом.

    Доказательство:

    Рассмотрим четырехугольник ABCD. Пусть в нем стороны AB и СD параллельны. И пусть AB=CD. Проведем в нем диагональ BD. Она разделит данный четырехугольник на два равных треугольника: ABD и CBD.

    Эти треугольники равны между собой по двум сторонам и углу между ними (BD - общая сторона, AB = CD по условию, угол1 = угол2 как накрест лежащие углы при секущей BD параллельных прямых AB и CD.), а следовательно угол3 = угол4.

    А эти углы будут являться накрест лежащими при пересечении прямых BC и AD секущей BD. Из этого следует что BC и AD параллельны между собой. Имеем, что в четырехугольнике ABCD противоположные стороны попарно параллельны, и, значит, четырехугольник ABCD является параллелограммом.

    2 признак параллелограмма
    Если в четырехугольнике противоположные стороны попарно равны, то этот четырехугольник будет параллелограммом.

    Доказательство:

    Рассмотрим четырехугольник ABCD. Проведем в нем диагональ BD. Она разделит данный четырехугольник на два равных треугольника: ABD и CBD.

    Эти два треугольника буду равны между собой по трем сторонам (BD - общая сторона, AB = CD и BC = AD по условию). Из этого можно сделать вывод, что угол1 = угол2. Отсюда следует, что AB параллельна CD. А так как AB = CD и AB параллельна CD, то по первому признаку параллелограмма, четырехугольник ABCD будет являться параллелограммом.

    3 признак параллелограмма
    Если в четырехугольнике диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник будет являться параллелограммом.

    Рассмотрим четырехугольник ABCD. Проведем в нем две диагонали AC и BD, которые будут пересекаться в точке О и делятся этой точкой пополам.

    Треугольники AOB и COD будут равны между собой, по первому признаку равенства треугольников. (AO = OC, BO = OD по условию, угол AOB = угол COD как вертикальные углы.) Следовательно, AB = CD и угол1 = угол 2. Из равенства углов 1 и 2 имеем, что AB параллельна CD. Тогда имеем, что в четырехугольнике ABCD стороны AB равны CD и параллельны, и по первому признаку параллелограмма четырехугольник ABCD будет являться параллелограммом.

  • 1 ПРИЗНАК ПАРАЛЛЕЛОГРАММА:
    Если в четырехугольнике две стороныравны и параллельны, то этот четырехугольник будет являться параллелограммом.
    ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:
    Рассмотрим четырехугольник ABCD. Пусть в нем стороны AB и CD параллельны. И пусть AB=CD. Проведем в нем диагональ BD. Она разделит данный четырехугольник на два равных треугольника: ABD и CBD. Эти треугольники равны между собой по двум сторонам и углу между ними ( BD-общая сторона, AB=CD по условию, угол1=углу2 как накрест лежащие углы при секущей BD параллельных прямых AB иCD), а следовательно угол3=углу4. А эти углы будут являться накрест лежащими при пересечении прямых BCиAD секущей BD. Из этого следует, что BC иAD параллельны между собой. Имеем, что в четырехугольнике ABCD противоположные стороны попарно параллельны, и, значит, четырехугольник ABCD является параллелограммом.
    2 ПРИЗНАК ПАРАЛЛЕЛОГРАММА:
    Если в четырехугольнике противоположные стороны попарно равны, то этот четырехугольник будет параллелограммом.
    ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:
    Рассмотрим четырехугольник ABCD.Проведем в нем диагональ BD. Она разделит данный четырехугольник на два равных треугольника ABD иCBD. Эти два треугольника буду равны между собой по трем сторонам ( BD- общая сторона, AB=CD и BC=AD по условию). Из этого можно сделать вывод, что угол1=углу2. Отсюда следует, что AB параллельна CD. А так же AB=CD иAB параллельна CD,то по первому признаку параллелограмма, четырехугольник ABCD будет являться параллелограмм.
    3 ПРИЗНАК ПАРАЛЛЕЛОГРАММА:
    Если в четырехугольнике диагонали пересекаются и точки пересечения делятся пополам,то этот четырехугольник будет являться параллелограммом.
    ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:
    Рассмотрим четырехугольник ABCD.Проведем в нем две диагоналиACи BD, которые будут пересекаться в точке О и делятся этой точке пополам. Треугольник AOB COD будут равны между собой, по первому признаку равенства треугольников. ( AO=OC, BO=OD по условии, угол AOB=угол COD как вертикальные углы). Следовательно, AB= CD и угол1= угол2. Из равенства 1 и 2 имеем, что AB параллельна CD.Тогда имеем, что в четырехугольнике ABCD стороны AB равны CD и параллельны, и по первому признаку параллелограмма четырехугольник ABCD будет являться параллелограммом